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一、证明题

1． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积

为

,

其中【答案】因

故原公式成立.

2． 设

, 在原点的某邻域内连续, 且

, 而

所以

3． 设级数

满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即

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为曲面S 的外法线方向余弦.

证明:

【答案】因为

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

则存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

时必有从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

4． 证明:若二元函数f 在点上连续.

【答案】由内成立, 由于

的某邻域U （P ）内的偏导函数与有界, 则f 在U （P ）

存在M>0, 使

在

1

在U （P ）内有界, 设此邻域为

其中

所以对任意的正数, 存在

故f 在U （P ）内连续.

当时, 有

二、解答题

5． 求极限

【答案】应用泰勒公式得

6． 设

是可微函数, 求

其中

【答案】将已知等式两边对x 求导得

将

代入, 可解得

再将

代入, 得

7． 计算第二型曲线积分:

其中A （1, 1）, B （2, 4）分为两种情况: （1）（2）

为连接A , B 的直线段; 为抛物线:y=x.

直线段的方程为y=3x-2, 所以

（2）

.

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2

【答案】（1）

8． 讨论下列各函数列

（a ）（b ）（1）（2）（3）

【答案】 （1）设

.

与

在所定义的区间上:

的一致收敛性；

则

是否有定理的条件与结论.

所以

（b ）因为的结论. 又

及在[0, b]上均一致收敛.

在[0, b]上一致收敛, 且每一项均连续, 故

满足定理的条件, 进而有定理

满足定理的条件及结论.

在[0, b]上一致收敛, 且每一项连续, 故

而

（2） （a ）

故

在[0, 1]上有间断点, 故

（b ）因定理的结论.

（3） （a ）

, 故

在[0, 1]上不一致收敛.

即

在[0, 1]上一致收敛, 且每一项均连续, 所以

不具有定理的条件. 又

在[0, 1]上一致收敛. 又g （x ）具有定理的条件与结论.

由于

, 从而

也不具有

在[0, 1]上不一致收敛, 故

故

所以

又（b ）由于

在[0, 1]上连续, 故

及

. 易求

得

故

在

处取得[0, 1]上的最大

值

在[0, 1]上不一致收敛.

在[0, 1]上不一致收敛.

不满足定理的条件. 又

的每一项在[0, 1]上连续, 但g （x ）在[0, 1]上不连续, 故

在[0, 1]上均不一致收敛, 故具有定理的结论, 又有

及

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在x=0处不连续, 进而不可微, 故不具有定理13. 10, 13. 11的结论.