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一、证明题

1． 证明有界函数.

2． 给定积分满足

证明:

【答案】利用复合函数的微分法, 有

通过计算易知

注意到

可得

3． 设

是区间I 上有界且一致连续的函数, 求证:

在区间Ⅰ上有界, 则存在的一致连续性得到, 对于任意

使得存在

使得当

从而

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是R 上的有界函数.

于是,

故

是R 上的

【答案】由平均值不等式可得

, 作正则变换, 区域D 变为, 如果变换

在I 上一致连续.

时, 有

【答案】由于再由

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所以

4．

证明sinx

在

【答案】对于任意的

在区间Ⅰ上一致连续.

上一致连续.

有

对任给的sinx 在

, 取

, 则对一切

, 当

时, 有

, 故

上一致连续.

二、解答题

5． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:

（1）（2）（3

）（4

）

【答案】 （

1）（2）（3）

.

为心形线方程, 它在极轴之上部分的参数方程式为

于是

（4）由

第

3

页，共

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, , 绕X 轴;

绕x 轴;

, 绕极轴

;

, 绕y 轴.

, 得, 则

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6． 设f （x , y ）是区域

问极限【答案】令

. 上的有界k 次齐次函数（k ≥1）， 是否存在? 若存在，试求其值.

由于f （x , y ）是区域上的有界k 次齐次函数，

7． 设函数u=f（x , y ）在

【答案】首先证明若对上任意两点所以由因而

.

上有

在

, 试求u 关于x , y 的函数式. 上连续

, 则

由中值定理

对x 的任意性, 知

, 从而

）与x 无关, 即, 据上述结论知,

.

.

再求u 关于x , y 的函数式. 因

所以

8． 设

（1）垂直于x 轴； （2）平行于z 轴； （3）恒为零向量. 【答案】 （1）

即2x=3xy.

（2）若gradu 平行于z 轴，则

（常数）

即

（3）gradu 恒为零向量，则

即

9． 判别下列级数的敛散性:

（1）

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试问在怎样的点集上gradu 分别满足:

由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是（0，0, 1）, 故

解得|

或