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一、证明题

1． 证明:对任何

（1）（2）

并说明等号何时成立. 【答案】（1）由三角不等式当且仅当（2）

当且仅当

时, 等号成立.

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 而g （x

）在在[a, b]上一致收敛于f （x ）, 所以, 存在N 1, 当即

I

又因为

时,

上连续, 证

时, 等号成立.

2．

设连续函数列明

:

均有值,

取

因此有又函数g （x ）

在上一致连续, 所以

又注意到

上连续, 所以g （x ）在[﹣M , M]上也连续, 因而g （x ）在[﹣M , M]

当

时, 有

当n>N时,

,

这说明

, 有

在[a, b]上一

【答案】因为

可知,

有

在[a, b]上一致收敛于g （f （x ））.

和f （x ）在[a, b]上连续, 一定存在最

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 对上述

因此可得

致收敛于g （f （x ））.

3． 设f 为上的二阶可导函数, 若f 在

使

在,, 则存在

【答案】先证

上有界, 则存在,

上不能恒为正, 也不能恒为负. 用反证法, 假设恒有

, 使得

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设. 由泰勒定理得,

（介于

于是假设不存在对

, 这与f （x ）在

使

应用达布定理可知, 存在

之间）.

,

, 这与假设矛盾, 故原命题得证. 有

. 证明f 为常量函数.

, 所以

上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.

. 则存在a 、b , 使得

使得

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． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续,

且对任何

【答案】

由

知f （x ）是偶函数. 因为

因为f 在x=1连续,

所以当

时,

而当时

, , 又

故

f 为常量函数.

二、解答题

5． 求积分

【答案】而

所以

又因为

所以

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6．

讨论函数项级数

【答案】当0l时，

级数收敛.

在（0，1）和

的一致收敛性.

不趋于0, 所以不一致收敛.

，即

所以

于是，对于任意的，x>l, 存在，当n ＞N

时，因此，级数一致收

敛.

7． 求下列函数在x>0上的最小值:

（

1）

【答案】（1）由

（2）

.

得驻点X=l.因为

所以X=1为函数f （X ）的最小点, 最小值为f （1）=1.或考查

故X=1为函数f （X ）的最小点.

（2）注意到lng

（x

）=f（x

）及Ing （x ）与g （x ）有相同的最小点. 利用第（1）小题知g （x ）的最小值为g （1）=e.

2

8

． 在R 上给定

及函数

证明:无界函数f （x , y ）在【答案】作

的部分

上可积.

, 令

, 则

为了估计上界, 把分成三类:以（0, 1）为心, 以为半径的圆记作U , 整个落在U 内的归作第一类; 不完全落在U 内的, 要么整个落在正方形

要么整个落在

上, 归作第三类. 容易看出

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内, 归作第二类;