2018年西北农林科技大学农学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表:
表
【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为即
则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程
解之得
由于
由二阶导数的性质知，P 的最大似然估计为
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的二项分布，
为样本，
2． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数
【答案】记（1）（2）
服从伽玛分布
；
设各周的需求量
相互独立，
且密度函数都为
（2）三周需求量的密度函数
为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.
，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为
, 其密度函数为
3． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
【答案】记事件为“第i 次取出不合格品”，i=l，2, D 为“有一件是不合格品”，E 为“另一件也是不合格品”. 因为D 意味着:第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品. 而ED 意味着:两件都是不合格品. 即
，因为
所以根据题意得
4． 在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信水平为0.90的置信区间.
【答案】此处n=80较大，可用正态分布求其近似置信区间. 不合格品率的为
此处
因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为
5． 已知随机变量X 和Y 的联合密度函数为
求: （1）常数k ; （2）（3）
的联合分布函数;
;
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近似置信区间
（4）;
,
, 即K=1.
时,
, 故得
（5）问X 与Y 是否相互独立？ 【答案】（1）由得（2）当
当x , y 属于其他情况时,
（3）
（4）（5）因为
则故
6． 设二维随机变量
x 与y 相互独立.
的联合分布列为
表
1
试求与的协方差.
表
2
【答案】因为
所以得
由此得
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