2018年西北农林科技大学农学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
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2018年西北农林科技大学农学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（一） ... 2 2018年西北农林科技大学农学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（二） ... 9 2018年西北农林科技大学农学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（三） . 16 2018年西北农林科技大学农学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（四） . 21 2018年西北农林科技大学农学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（五） . 30
一、计算题
1． 设随机变量
试求
和
相互独立，且都服从
上的均匀分布，记
【答案】记的密度函数和分布函数分别为
则当
时，Y 与Z 的密度函数分别为
所以
2． 写出以下正态分布的均值和标准差
.
【答案】对
有
所以对
有
所以对
的均值有
所以
的均值
标准差
标准差
的均值
，标准差
3． 设随机变量X 和Y 独立同服从参数为的泊松分布，令
求U 和V 的相关系数【答案】因为
所以
由此得
4． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组法码:（甲）1，2, 2, 5, 10（g ）; （乙）1，2, 3, 4，10（g ）; （丙）1, 1, 2, 5, 10（g ），称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为lg ，2g , …，l0g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？
【答案】分别用X ，Y ，Z 表示用甲、乙、丙三组法码称重时所用的砝码数. （1）用甲组法码称重时，1个按码可称4种物品2个法码可称4
种物品所以X 的分布列为列为
表
1
因此平均所用法码数为:
.
;
.
3个砝码可称2种物
品
（2）用乙组法码称重时，1个法码可称5种物品（1，2，3，4，10（g ））;
2个法码可称3种物品（5，6，7（g ））; 3个砝码可称2种物品（8, 9（g ））. 所以Y 的分布列为
表
2
因此平均所用法码数为:
.
（3）用丙组法码称重时，1个法码可称4种物品（1，2，5，10（g ））; 2个法码可称3种物品（3，6，7（g ））; 3个砝码可称2种物品（4, 8（g ））; 4个法码可称1种物品（9（g ））. 所以Z 的分布列为
表
3
因此平均所用砝码数为:
所以用乙组法码称重时，所用的平均砝码数最少.
5． 设
相互独立，且
试求
中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=:
6． 设分布函数列设服从
【答案】对任意的对取定的N , 存在致的, 因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
7． 蟋蟀用一个翅膀在另一翅膀上快速地滑动, 从而发出吱吱喳喳的叫声, 生物学家知道叫声的频率X 与气温Y 具有线性关系, 下表列出了15对频率与气温间的对应关系的观察结果:
表
1
使当
使有时，任对弱收敛于分布函数
且
对取定的h ，因为
有
关于x 是一
和
.
，
都是连续、严格单调函数，又
上的均匀分布，试证:
存在充分大的M ，使有
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有