2017年中国农业大学生物学院701数学(农)之概率论与数理统计考研冲刺密押题
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2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研冲刺密押题（一）.... 2 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研冲刺密押题（二）.... 8 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研冲刺密押题（三）.. 15 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研冲刺密押题（四）.. 23 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研冲刺密押题（五）.. 29
一、证明题
1． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
2． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（
）是充分统计量.
（2）因为给出（这只要通过令
1与
,
是一一对应的,
）就可算得（
）,
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
即可实现（这里默认因此,
3． （1）设布函数
和
是充分统计量.
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分
其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
做变换
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果, 有
4 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
的特征函数, 由唯一性定理知
5． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
.
, 且X 与Y 独立,
其逆变换为
雅可比行列式绝对值为
,
于是
与
时, 样本极差
的分布函数.
P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
6． 设随机变量序列数, 并求出c.
【答案】因为
, 且
所以由切比雪夫不等式得, 任对即即
7． 如果
且.
有
故当即对任意的
时, 有
有
于是有
从而
成立, 结论得证.
8． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明：Y 服从参数为
的泊松分布.
再由本节第3题知
有
独立同分布, 且
令
, 试证明:
其中（3为常
试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的
二、计算题
9． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为