2017年中国农业大学农学与生物技术学院701数学(农)之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自泊松分布
的一个样本.
在显著性水平为时给出其拒绝域；
（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题
的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；
（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1
）泊松分布
的充分统计量是，
它是的无偏估计.
若原假设
成立，
则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设
所以此检验的拒绝域应有如下形式
其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定
或
由于原假设成立下
则由
可得
不是一件易事.
（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为
其中m 为如下整数
考察
的单调性，为此求其导数
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（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题
故
若令泊松分布
的
分位数为这里
的寻求还
所以在给定理时，
该检验的拒绝域为
所以势函数大.
是的严格増函数. 由此可知，在原假设
上
在处达到最
（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时
对给定的显著性水平有
即拒绝域W 中的临界
值
即当n=10时，若
则应拒绝原假设
譬如
，
的渐近分布
，n=10
和时，
有
2． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
3． 设随机变量与相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
, 所以
又因为
所
时,
和
则
的密度函数为
则
所以
当
是相互独立的标准正态随机变量.
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由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
4． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
5． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
6． 设
是来自
的样本,
是来自
即A ，B 相容.
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
于是
,
与
分别是两个样本方差.
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