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一、证明题

1． 设总体

【答案】

由于总体

均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差. 2 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即

即

3． 证明：对正态分布

且

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在. 的无偏估计，故其差

由判断准则知

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

，则这说明

是0的无偏估计，

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而

的最大

似然估计不存在.

4． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

的泊松分布.

5． 设

也是一个分布函数.

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是

（2）有界性. 对任意的x ，有

且

（3）右连续性.

6． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

7 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

的特征函数, 由唯一性定理知

8． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

分布

的特征函数, 由唯一性定理知

.

, 且X 与Y 独立,

则

, 且X 与Y 独立,

都是分布函数，故当

时，有

二、计算题

9． 设随机变量X 的分布函数为

试求

10．设随机变量X 的密度函数为

试求

的数学期望.

【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为

【答案】

11．从甲地飞往乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值是4h ，标准差是20min 的正态分布.

（1）该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少？ （2）该机在下午2:20以前到达乙地的概率是多少？ （3）该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少？ 【答案】设时间单位为min ，则（1）所求概率为

（2）所求概率为

（3）所求概率为

12．一位经济学家对生产电子计算机设备的企业收集了在一年内生产力提高指数（用0到100内的数表示）并按过去三年间在科研和开发上的平均花费分为三类：

生产力提高的指数如下表所示：

表1