2017年中国农业大学生物学院701数学(农)之概率论与数理统计考研强化模拟题
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2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研强化模拟题（一） ... 2 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研强化模拟题（二） ... 9 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研强化模拟题（三） . 15 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研强化模拟题（四） . 21 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研强化模拟题（五） . 30
一、证明题
1 设分别自总体．
试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.
【答案】由已知条件有
且
独立. 于是
故
这证明了又
是的无偏估计.
从而
因而当
时，Var （Z ）达到最小，此时
这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是
的线性无偏估计类
独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为当x<0时,
有
当
„所以, 对任意的
时,
有
, 当
所以有
3． 设由
结论得证.
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
而当时, 有
时,
有
中方差最小的.
其中常数
, 令
的样
该无偏估计为
中抽取容量为
，的两独立样本其样本方差分别为
都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）
2． 设随机变量序列
明：样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
4． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,
由于-X 的特征函数为所以故是实的偶函数.
5． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
所以得
, 即
先证充分性. 若
是实的偶函数, 则
又因
数为6的概率大于1/2.
6． 设总体μ，则
即
将（*）式两端对H 求导，并注意到
有
为样本，证明，
分别是
的无偏估计，设
分别为
是0的任一无偏估计，
的UMVUE. 【答案】大家知道：
这说明为证明
即于是从而的UMVUE.
的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了
由此可得到的UMVUE.
因而
7． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，且看出，事件A ，记
（2）设其中
以下对n 用归纳法：
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
8． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，