2017年中国农业大学生物学院701数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
目录
2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研仿真模拟题（一）.... 2 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研仿真模拟题（二）.... 9 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研仿真模拟题（三）.. 18 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研仿真模拟题（四）.. 27 2017年中国农业大学生物学院701数学（农）之概率论与数理统计考研仿真模拟题（五）.. 36
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一、证明题
1． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
2． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
3． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
以下对n 用归纳法：
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【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
分布函数, 即（2）. 相互独立, 由（1）
的相互独立性可导致
又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有（2）设其中
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
4． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
即成功概率p 的后验分布为
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
分布族.
5． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
6． [1]设随机变量
[2]设
，求
，证明：
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【答案】利用变换及偶函数性质可得
[2]在题[1]中令即可得结论.
7． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
8． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为
所以
所以
由
由
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为一事件域，所以
其中
故其对立事件
得得