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一、证明题

1． 证明级数

【答案】因为

按对角线相乘可得

*

所以两级数的乘积为

与

绝对收敛，且它们的乘积等于

故级数

.

绝对收敛，同理

也绝对收敛，

2． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。

【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.

取

. 任意

存在则H 是

上连续，则在

有

不妨设

因此

由一致连续定义，

在

3．

设

定义在闭矩形域

固定的

上一致连续。

上，若f 对y 在为y 的连续函数，

故对

又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述

且

便有

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上一致连续. 因为在

对任意

的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个

开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为

取

时，由于

对任意

即当

上处处连续，对x 在

当

上(且且

关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.

【答案】

设

时，有

也存在

对满足

的任何y ，

只要

现取

只要且时，总有

因此，f 在S 上连续.

4． 求证

：

在

上一致收敛. 可得

又

收敛，由M 判别法即得原级数在

先求函数

上一致收敛.

为奇函数，只需讨论

的

【答案】方法一：由

方法二：记情形

.

的最大值，由于

又

故

是函数

的最大值点. 因此

5． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：

【答案】将又因为

比较上面两式的实部与虚部可得

6． 证明：函数

【答案】因为

只要

在上一致连续，所以

，

就有

对上述

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代入欧拉公式，得

在区间上一致连续的充要条件是： 只要

就有

由

可知

从而

用反证法. 函数

在上不一致连续可表述为：

尽管

应地存

在

满

足

矛盾.

但

此即为

取

显然

，

相但

二、解答题

7． 设平面光滑曲线由极坐标方程

给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式。 【答案】曲线的直角坐标方程为

于是

8． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：

【答案】⑴

当P<1时，

当（2）

时，

发散，故

发散

由于上面这个极限不存在，故瑕积分

发散。

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