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一、证明题

1． 设函数

在

上严格单调増加，求证：函数

也在【答案】

上严格单调増加.

且设

于是

同理可证

2． 设f (x ) 在

则

上连续，对任意收敛.

，所

以

当

时

有

有

另外

试证：若

在

上严格单调增加.

因为

在

上严格单调増加，所以

【答案】用比较判别法. 因

为

即

从而当

时有

若

可取

收敛.

3． 设z=f(x ，y ) 在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且

证明：z=f(x , y ) 的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.

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则

从而积分收敛，根据比较判别法可知，

积分

【答案】由f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，所以f (x ，y ) 在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点(X ，y ) , 记

由已知条件知

所以

故D 内任一点都不可能是极值点，因此f (x ，y ) 的最大值与最小值只能在D 的边界上取到.

4． 设

【答案】因为又由

一致收敛，即

5． 设为使

【答案】

先证

在则存

在

(

使得

矛盾，故原命题得证。

6． 用定义证明

：

【答案】先写出

当

具体到本题，由于

所以

取

当

时，有

即

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是[a, b]上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在

[a, b]上绝对且一致收敛.

是[a, b]上的单调函数，故对任意

> 均绝对收敛，

得收敛，从而在[a，b]上绝对且一致收敛. 上的二阶可导函数，若在

上有界，则存在

与在[a, b]上

上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，

假设恒有

使

得

介

于

设

由泰勒定理得

，

这

与

使

使得

在则存在

这与假设

之间) . 于

是

上有界矛盾. 再用反证法证明原命题. 假设不存在

对

应用达布定理可知，存在

的精确数学定义

.

和

时，有

二、解答题

7． 设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。

【答案】x 与这n 个数之差的平方和为

又因

故

于是

由

得

问以怎样的数值x 表达所要测量的真

为最小值点，因此x 为的算术平均值时，它与

这n 个数之差的平方和为最小。

8． 求下列极限：

（1）【答案】⑴

（2）

9． 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：

⑴（3）

【答案】（1）

上确界. 显然有是集合S 的一个上界. 对任意的

则

即（2）

，则

（3）

设a

不妨设a>0.由无理数的稠密性可知，

存在无理数是S 的上确界.

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（2

）

（2）为

内的无理数 （4）

和

这里只证明

是

取

S 的上、下确界分别为不妨设

月因此

，是S 的上确界.

的上、下确界分别为

故S 无上界，即S 的上确界为

和1.1是S 的一个下界，并且

任何大于1的数都不是S 的下界，所以1是S 的最大下界，即1是S 的下确界. 对任意的M>0,

取

为

内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界.

于是

并且

因此，1