2017年闽南师范大学数学与统计学院615分析与代数之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛，
当
时级数发散，当
时，因为
因而级数发散，于是级数的收敛域为(-1，1) .
设
当
求证f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
时有
由根式判别法知上连续，由
收敛，
所以
的任意性知f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
在
上一致收敛，从而f (x )
在
的收敛域，并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
在(-1，1) 内非一致收敛.
事实上，设
取
则
即
2． 设则必是则存在一点
使
取
在(-1，1) 内不一致收敛于0，所以函数项级数在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。
在I 上的最大值点，
在
使得
(
不妨设则当
) 。由连续函数的最大最小值定理知
，
而是
时，
的一个极大值点，所以存在
即是
的一个极小值
在(-1，1) 内非一致收敛. 证明：若是的极大(小) 值点，
【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是
上存在最小值m 。因为
点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。
3． 试证明
【答案】令
则
于是原不等式左边变为
(应用了赫尔德不等式
)
4． 试应用
定义证明
肘，
【答案】因为当从而对任给
取
则当
时，
所以
5． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
(1
)
【答案】(1) 设
(2)
考察正项级数
的收敛性，因为
所
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
(2)
设
考察正项级数
的收敛性，因为
»
所以
6． 设函数
【答案】令
具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L , 有
则有
从而级数收敛. 由级数收敛的必要条件知
故由格林公式可得
二、解答题
7． 求下列均匀密度物体的质心：(1) 面体.
【答案】(1) 设物体质心为
由对称性知：
(2) 设四面体的质心坐标为
，由于物体密度均匀，且
因此
8． 设
(1) 求证：【答案】(1) 令
则
同理
所以
(2)
要使
(2) 由坐标面及平面所围的四
(2) f (r ) 是什么函数时
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