2017年内蒙古民族大学数学学院706数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在
【答案】由是区间
上满足方程
知，对任给的因为
再由的任意性知，
2． 证明
：
【答案】
由于所以上式综上可得 3． 设
证明：
【答案】原不等式等价于
取
的凸
函数. 若记
由凸函数的性质
即
亦即
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且
证明，
时
由
设得
有
存在正数M ，使得当所以存在正整数N ，使得
中的任一数，由于
所以
由的任意性知，对所有的
，
则由可知
，
是上
4． 设D (x ) 为狄利克雷函数
，
【答案】
令
和无理数
，
使得在.
5． 证明曲线积分的估计式：利用上述不等式估计积分
【答案】因为
对任意的
证明于是
不存在.
中存在有理数
不存
根据柯西准则，
由有理数和无理数的稠密性可知，在
其中L 为AB 的弧长，并证明
并
这里又
为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦； 有
圆的参数方程为
而
从而
6． 证明：级数1]上却不一致收敛。
【答案】对任意
级数收敛，故
记
大值，所以
从而下面讨论级数
故原级数在由于
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于是
故由迫敛性知
在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，
则
进而可得
时在上取得最
上一致收敛.
所以原级数在
数在
上却不一致收敛.
上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级
二、解答题
7． 试求心形线
【答案】所求平均值为
8． 已知抛物叶形线
（1）M 的面积； （2）M 的周长;
（3）M 绕x 轴旋转所得旋转体的体积（4）M 绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积（5）M 的重心
.
, 如图所示，其中当
求
上各点极径的平均值。
时的叶形部分记作
图
【答案】（1）由对称性，只要求出
与轴所围成的面积，两倍即得结果，即
（2）
由此即得
（3）（4）
（5）由对称性，
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