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一、证明题

1． 设S 为非空有下界数集. 证明：

【答案】必要性，设的任一元素X ，

充分性，设取

则. 又因为

则

因为是S 的下确界，所以是S 的一个下界. 于是，对于S 所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素

即是S 的一个下界.

对于任意

所以是S 的下确界，即

2． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：

【答案】(1)

由

得

取

由于是

则当

时

知，

对于任给的

在其定义域内连续.

取

则当

于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,

任取

时

3． 证明：级数1]上却不一致收敛。

【答案】对任意

级数收敛，故

记

大值，所以

从而下面讨论级数

故原级数在由于

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的定义域是因为的图像关于原点对称，所以对于任给

的

限

制

只需对X>0的情形进行证明. 设

.

在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，

则

进而可得

时在上取得最

上一致收敛.

所以原级数在

数在

上却不一致收敛.

上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级

4． 证明级数收敛，并且其和小于1.

【答案】由微分中值定理，有

从而又

所以级数

5． 设

【答案】因为又由

一致收敛，即

6． 设

【答案】因为

所以

由于

故在

上不是一一映射。

与

收敛，并且其和小于1.

是[a, b]上的单调函数，证明：若

与

都绝对收敛，则

在

[a, b]上绝对且一致收敛.

是[a, b]上的单调函数，故对任意

> 均绝对收敛，

得收敛，从而在[a，b]上绝对且一致收敛.

证明：当

，但在

上，不是一一映射；

在[a, b]上

二、解答题

7． 确定下列函数的凸性区间与拐点：

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【答案】故y 的凹区间为

凸区间为当

的凸区间为

由

得

或

故y 的凹区间为

时由于得

由得的拐点为

，

当

（即

当

时，当时，

时故y 的凹区间

为

）无实根，故y 无拐点。

由

和

得得

由

.

得

故拐点

为

解得

得

和故y 的

当凸区由

于是拐点为

y 的凸区间为

由

。由

凹区间为

得和

解得凸区间为

或

由

时，

间为

8． 设

【答案】如果存在某证明如下：由

又由

由于所以当

9． 求下列不定积分：

和

当

拐点为

时，故y

的凹区间为

在何种条件下能由此推出使得在

内，

存在

知，对任给的

时，

使得当使得当从而

则由题设条件能推出

时，

时，有

即

.

对上面的存在

【答案】（1）当由于

在

时，

上连续，故其原函数必在

当

即

因此

所以

（2）当当由于

在

时，时，

上连续，故其原函数必在

上连续可微. 因此，

即

因此

所以

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时

，连续可微. 因此