2017年南昌航空大学数学与信息科学学院609数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
是[a, b]上非负连续函数，
在[a, b]上点态收敛于u (x ) . 证明：u (x ) 在[a, b]上
一定达到最小值.
【答案】记在点列
且
下证：
由
在点
处的连续性知，
当
由于
递增，故更有这样便有
这与
2．
设当
时，
故
时
于是
由的任意性知
3． 证明：若
【答案】(1) 若
则
则对任意
当且仅当a 为何值时反之也成立？
存在N ，使得n>N时，
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则
使
使
递增趋向于u (x ) ，且由致密性定理知，
设则存不妨设
存在收敛子列，仍记为
反证法 若不然，则由
时，有
知，
使
于是存在适当大的k ，
使
相矛盾. 证明
如果
于是，
时，原命题是成立的.
当
时，
对任给的
存在
当
其中
为正整数. 那么，对任给的
存在
使得
【答案】由保不等式性知
，
即当
因
为
(2) 当且仅当a=0时，由，证明如下：由. 是
4． 1) 设
(1) (2) 若
如果
数列证明：
所以对于任
意
可推出
当n>N时，也
有
此时，命题变为：
即
于
是
知，对任意
满足
存在N ，当n>N时，
但数列
是发散的.
于
(又问由此等式能否反过来推出
则
) ；
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1
) (2
) (3
) (4
) (5
) (6
) (7)
若(8)
若
【答案】(1) 因
为
于是当
则则时，有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
取
则当
时，有
故
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所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
又因为所以对上面
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为(2)
令(3)
令
所以
则
如果a=0, 则
综上所述，有
由第1)(2) 题知，
则
由第1(2) 题知，
(4)
令
则
由第1)(2) 题知，
) .
(5)
令
则
由第1)(2) 题知，
因而
(6)
令
则
由第3(1) 题得知，
(7) 补充定
义
令
则
由
知
因
为
所
以
且
例如
可得
如果a>0, 那么
但
不收敛.
由平均值不等式
由第1)(2) 题得
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