2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数(数学)考研导师圈点必考题汇编
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2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数（数学）考研导师圈点必考题汇编（一）.... 2 2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数（数学）考研导师圈点必考题汇编（二）.... 7 2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数（数学）考研导师圈点必考题汇编（三）.. 12 2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数（数学）考研导师圈点必考题汇编（四）.. 18 2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数（数学）考研导师圈点必考题汇编（五）.. 23
一、计算题
1． 已知
【答案】因为
于是
3
2． 己知某车间的容积为30×30×6m ，. 现以含CO 20.04%其中的空气含0.12%的CO （以容积计算）2的新 鲜空气输入，问每分钟应输人多少，才能在30 min后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?（假定输入的新鲜 空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出. ）
，则【答案】设每分钟输入v （m ）的空气. 又设在时刻t 车间中CO2的浓度为x=x（t ）（%）在时间间隔[t，t +dt]内，车间内CO 2的含量的改变量为
即
且
即
代入初始条件
依题意，当t=30时，
故每分钟至少输入新鲜空气
将
代入上式，解得
可得
于是有
将上述微分方程两端积分，得
3
，求当时，的值。
3． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得
将x=1, y=1, 得
（2
）令
代入上式。得故所求特解为
则原方程化为
代入初始条件
得
代入初始条件（3）在方程于是
代入初始条件故有取
分离变量并积分代入初始条件
得得
故所求特解为
因
即
不
即
得
并因
时，
故上式开方后
得C 2=0.故所求特解为两端同乘以
则有
即
即原方程的通解为
分离变量并积分
从而有
于是
得
即
有初始条件
则
且原方程化为一阶线性方程
即
（4）由原方程对应齐次方程的通解为是特征方程的根，故
令
比较系数得并有代入初始条件
故
有
是原方程的特解，并代入原方程，
得且原方程的通解为
即
4． 求函数
【答案】
故所求特解为在点
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
沿
方向减少最快，其方向导数为
5． 求抛物面壳
【答案
】
。故
的质量。此壳的面密度为
在
xOy
。
在
处沿
的方向增加
面上的投影区
域
。因此
6． 把星形线
所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体体积。
，
3
，所以对上述积分作换元x=acost ，便得
，则所求体积为曲线y=y（x ）与x 轴所围【答案】记x 轴上方部分星形线的函数为y=y（x ）成的图形绕x 轴旋转而成，故有
由于星形线的参数方程为
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