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一、证明题

1． 按定积分定义证明

:

【答案】对于和为

从而

可取为任何正数, 只要使

, 就有

根据定积分定义有

2．

利用不等式

为有界数列.

【答案】由不等式令

则有

得到

于是

因此,

为递减数列, 由此推出

于是

即

为有界数列.

证明

:

为递减数列,

并由此推出

的任一分割

, 任取

相应的积分

二、解答题

3． 设

（1）求

,

（2

）在点（0, 0）是否连续?

（3）f （x , y）在点（0, 0）是否可微. 【答案】（1）当 x=y=0 时,

同理（0, 0）=0. 当

时,

所以

（2）取而

即（3）因为

而

*

由迫敛性知

*

所以f （x , y）在点（0, 0）可微.

4． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

, :, 则

与都不存在, 故, 在点（0, 0）不连续.

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所以（2）因为

由拉贝判别法

, 当x>l时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=l时,

原级数化为发散.

5．

求由曲线

也

故由拉贝判别法可得原级数收敛.

, 所围图形的面积.

【答案】如图所示, 所围图形的面积为

图

6． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数, 也可能没有原函数.

【答案】

x=0是此函数的第二类间断点, 但它有原函数

另外, 狄利克雷函数D （X ）, 其定义域R 上每一点都是第二类间断点, 但D （x ）无原函数.

7． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，

（1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组由于在边界﹣2）上，

上，

由

得稳定点（0, 0）.

所以（0, 0）不是极值点. 得稳定点x=0, 这时，

在点（0, 2）和（0，

比较

同理，在边界点（2, 0）和（﹣2, 0）上，

各点的函数值知，在点（2, 0）, （ ﹣2, 0）函数取最大值4, 在点（0, 2）, （0, ﹣2）函数取最小