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一、证明题

1． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】构造集合H 覆盖闭区间即

.

用反证法.

若使

2． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明:级数收敛, 则

令

则

, 级数

的部分和为

从而级数

3． 设f （x

）在明:

至少在两点达到最小值.

【答案】由题设知f （x ）在函数的介值性知, 所以

,

使得

, 使得显然

上的值域为

. 再由（f x ）在, 但

,

即F （x ）至少在两点达到最小值.

4． 证明:若致地成立, 即对任意

【答案】先证

在

时一致收敛于F （x ）. 且

收敛.

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能被H 中有限个开区间覆盖}.明显, S 有上界. 又因为

, 使,

即

. 取

. 由确界原理可知, 存在

知,

必存在

矛盾. 因此

.

使, 则

,

下面证明取

和

, 所以存在一个开区间

能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而

,

则则

, 由H

覆盖闭区间,

所以

这与

能被H 中有限个开区间覆盖,

把. 加上,

就得到

也能被H 中有限个开区间所覆盖, 所以所以定理结论成立.

也收敛, 其中

收敛. 上连续

,

, 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ）

. 又因为

上的值域也是

, 由连续

,

对任何对一切

成立, 则有

一

存在M>0, 当x>M时,

由于

.

在时一致收敛,

因此任给

一致收敛于

,

存在N ,

对一切

,

和一切,

都有

又由于f （x , t ）对任何因此对从而

, 存在X , 对一切x>X和都有

即再证

收敛.

考虑

由一致收敛于F （x ）知, 任绐存在N 1, 对一切A> N1和一切

有

由由从而有

收敛, 对上述

取

存在N 2, 对一切A> N2, 有

, 对

, 存在X , 对一切x>X和t , 有

综合上述, 对任给的

存在x , 对一切x>X, 有

二、解答题

5． 试将下列积分用欧拉积分表示, 并指出参量的取值范围:

【答案】（1）（2）

6． 已知抛物叶形线

（1）M 的面积; （2）M 的周长;

（3）M 绕x 轴旋转所得旋转体的体积（4）M 绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积

, :

由

由p+l>0得p>﹣1. , 如图所示, 其中当

时的叶形部分记作M. 求 和

得

和

.

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（5）M 的重心

.

图

【答案】（1）由对称性, 只要求出

与x 轴所围成的面积, 两倍即得结果, 即

（2）

由此即得

（3）（4）

（5）由对称性,

,

7． 计算

【答案】令

所以

其中

.

8． 设f （X , y ）可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有

【答案】设

上确定向量1的方向余弦为

则

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试问此函数，有何特征？