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一、证明题

1． 证明:若S 为无上界数集, 则存在一递増数列

【答案】令且

. 如果已找到

.

令

使得

则存在

.

使得

即

由

, 存在.

使得

再令

使得

则存在

使得

即

归纳原理知, 存在一递增数列

2． 证明公式

,

其中S 是包围V 的曲面, n 为S 的外法线方向【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

因此公式成立.

而

二、解答题

3． f （x ）在有界实数集E 上一致连续的充要条件是把E 中的柯西列变为R 中的柯西列.

【答案】只要从而有

,

. 当n , mN 时, 有

是柯西列

.

. 对

. 相应地存在

和

,

这表明

,

就有

若f 在E 上一致连续, 则设{xn }是E 中任一柯西列, 对上述

假设f （x ）在E 上非一致连续, 则尽管注意到

,

但

是有界数列, 由致密性定理, 它存在收敛子列

与此相对应的即但

也有一个子列

是E 中的柯西列,

.

却发散, 不是柯西列.

的形式:

4． 将以下式中的（x , y , z ）变换成球面坐标

【答案】将. 对变换①, 有

看成由①和②复合而成.

对变换②, 有

故有

对上述变换①的结果, 得

对变换②, 有

因为

所以

故

5． 讨论级数

的敛散性.

【答案】用柯西收敛准则. 取

,

, 让自然数k 适当大, 取

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显然, 考察

,

. 注意到, 当时,

有

因此

这里用到了

6． 求出函数

（当k 适当大时）. 由柯西收敛准则可知, 原级数发散.

在（1, 1）点邻域带皮亚诺余项的泰勒公式.

其中

7． 对积分

（2）（3）

进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:

所确定的区域;

（见图）.

（1）当D 为由不等式

.

【答案】利用一元函数的泰勒公式, 有

图

【答案】 （1）

（2）