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一、证明题

1． 设

射; （2）证明:f 在

【答案】（1）因为

所以

由于（2）对于即

且

故一一映射, 由

有

根据定理有

2． 证明:级数上却不一致收敛.

【答案】对任意

级数收敛, 故

记

最大值, 所以

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, （1）证明:当时, <

.

, 但在R 上, f 不是一一映

2

上是一一映射, 并求

, 故在R 上f 不是一一映射.

当且仅当

2

, 当且仅当, 且, 因此f 在D 上是

在[0, 1]上绝对并一致收敛, 但由其各项绝对值组成的级数在[0, 1]

则

进而可得

当时在[0, 1]上取得

从而, 下面讨论级数

故原级数在[0, 1]上一致收敛. 由于

则

数在[0, 1]上却不一致收敛.

3． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

（2）

4． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理.

【答案】根的存在定理:若函数f 在闭区间

点

使得性知, 对

每一点

. 存在x 的一个邻域

, 使得f （x ）在

内保持与f （x ）相同

它

的符号. 于是, 所有的的右端点动, 得到开区间（x ）在每一个

形成[a, b]的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理,

从中可以选出有限个开区

, 以此类推, 经过有限次地向右移

这n 个开区间显然就是[a, b]的一个开覆盖.f

.

,

有

由连续函数的局部保号

假设方程f （x ）=0在（a , b

）内无实根, 则对每一点

上连续, 且f （a ）与f （b ）异号, 则至少存在一

得

所以原级数在[0, 1]上绝对并一致收敛, 但其各项绝对值组成的级

间来覆盖[a, b]把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间, 设为

又属于S 的另一个开区间, 设为

, 使得

f x ）f a ）内保持同一个符号. 在内（与（具有相同的符号. 因为

, 使得

.

所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号. 以此类推

, f （b ）与f （a ）具有相同的符号. 这与f （a ）与f （b ）异号矛盾. 故至少存在一点.

二、解答题

5． 设

, 求

【答案】

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6． 设函数f （x ）在区间（a , b ）内连续, 函数条件下, 方程

并研宄例子: （

1）【答案】设若

（i ）设又（ii ）由于

数

7． 计算下列积分:

【答案】被积函数

其中D 1, D 2, D 3和D 4见图.

即存在点

. 由于

显然F

（X , y ）在上连续.

, 满足

就可在附近确定隐函数

都在

R 上连续, 且

所以

故方程

不能确定函

能确定函数

在区间（c

, d ）内连续

, 而问在怎样的

, 故由上面的结论知方程可确定函数y=y（x ）.

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