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一、证明题

1． 证明:

【答案】令

则

于是当

在时,

内严格递增,

, 即

上连续, 且

求证:在【答案】令

内至少存在两个不同的点

, 则有

, 使

又因为

所以存在sinx 恒为负,

都与

于是F （x ）在则存在

3． 证明:场

【答案】对空间任一点（x , y , z ）都有

故A 是有势场. 由

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, 故f （x ）在

内严格递增.

2． 设函数f （x ）在

, 使得

矛盾. 又当, 使得

. 因若不然, 则在

时,

, 故, 即

内或F （x ）sinx 恒为正, 或F （x ）

上有三个不同零点, 再用罗尔定理,

是有势场并求其势函数.

故其势函数为:

4． 设z=siny+f（sinx －siny ）, 其中f 为可微函数，证明:

【答案】设u=sinx－siny , 则

所以

二、解答题

5． 计算

, 其中S 为圆锥表面的一部分

这里为常数【答案】由于

则

6． 讨论下列函数的连续性:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）. （7）

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.

（8）.

【答案】（1）函数f （x , y ）在集合:

上连续. 事实上, 当

时, 由tanu

在

连续知

故（2）设于是当可见（3）因为

充分小时, 对任意的在

处连续, 可见f 在D 上连续, 又f 在

且

就有

故f 在D 上连续. 从而

所以又在续.

因此,

在

时,

从而

所以

在点（0, 0）处连续, 又在

故（5）设

在点

处连续, 因此, 在整个平面R 上连续. 则

2

上无定义, 因而在则存在

使从而

上处处间断.

（即x+y=k）上处处不连续.

在点（0, 0）连续.

1的点（x , y ）处, 由于f （x , y ）是初等函数且在这些点处有定义, 故f （x , y ）连

上连续, 又在任意点

处间断,

故仅在D 上连续. （4）因为当

的点处

.

（i ）当冲为有理数时,

（ii ）当x 0为无理数时,

于是所以

（6）在因为

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’当且仅当y 0=0时成立.

仅在

的点处, 由于

上连续.

是初等函数且有定义. 故f （x , y）连续. 又