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一、证明题

1． 设

证明:【答案】因

即可.

设即所以故

2． 设f 在

内有定义. 证明:若对任何数列

目.

下面证明A=B.作数列

且都相等. 在

连续, 并且

求证:

存在, 并且

由题设

且

由题设知如下,

的两个子列

,

且

存在. 于是对于

极限

都存在, 则所都存在.

有这些极限都相等.

【答案】设数列设则必有

极限

3． 设函数

【答案】

于是, 有

而

不可能在D 内部取得极值,

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于故

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

最大值和最小值, 下证

于是A=B.

由数列的任意性知,

对任何数列

把这些式子左右两边对应相加得

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由于

在

连续, 对

取极限,

此即

4． 证明定理: 数列

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1. 为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义

,

数列

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得当

存在

N , 使

即

于是, 数列（2

）因为

5． 设函数等式:

【答案】设

则

在区间

上严格递增且连续,

注意到

故

为

的反函数, 试证成立

收敛于0, 即

为无穷小数列. 是无穷小数列

,

所以

存在, 且

为无穷小数列.

并应用它证明数列【答案】（1）充分性

, 设得当

时,

必要性, 设数列

收敛于a , 那么, 对任意

二、解答题

6． 求下列函数的全微分:

（1）（2）【答案】 （1）（2）

7． 验证下列线积分与路径无关, 并计算其值:

（1）（2）

, 其中

在球面上.

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【答案】（1）因

所以所给路曲线积分与路径无关, 从而

（2）因

所以所给曲线积分与路径无关, 且

由于

8． 设

和

在球面上, 所以原式=0.

, 计算下列积分:

【答案】（1）应用广义球坐标变换

（2）应用广义球坐标变换

9． 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:（1）星形线.

（2）双纽线

（2）设双纽线所围的面积为S , 双纽线的极坐标方程为

且图形关于y 轴对称的, 因此

10．计算下列各题:

（1）

【答案】（1）由于星形线的对称性,