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一、证明题

1． 设

【答案】一方面

另一方面

2． （伯恩斯坦大数定律）设有

【答案】记有

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

3． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:

【答案】

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，证明:

是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.

任对

存在

当

时，一致地

时，

证明:

服从大数定律.

4． 设总体为

证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则

由于从而

这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到

所以

从而

于是

在

时,

这说明作为0的无偏估计，在

比样本均值有效.

时，

故

为样本，

都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得

是的无偏估计，且

的均值与方差，

令

因而

样本中程

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5． 设X 为非负随机变量，a>0.

若

【答案】因为当a>0时

，

存在，证明:对任意的x>0,

有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.

6． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布 7． 记

证明

【答案】

的特征函数，由唯一性定理知

且X 与Y 独

由

得

8． 设为

【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

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是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间

，因而