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一、证明题

1． 设

【答案】一方面

另一方面

2． 设X 为非负连续随机变量，若

（2）

存在，试证明:

，证明:

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

，则

3． 设存在，且N 与

为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:

【答案】因为

所以

4． 若

【答案】因为

，证明:

.

•，所以得

由此得

结论得证.

5． 设随机变量变量.

【答案】

令

两边取对数，并将

展开为级数形式，可得

所以

而

正是

的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函

数

可

得

证明:当

时，随机变量

按分布收敛于标准正态

的方法知结论成立.

6． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

且X

的特征函数，由唯一性定理知

7． 设总体为如下离散型分布

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有

中等于

是充分统计量； 的个数，证明的取值

于是，对任一组并

设满足

是充分统计量.

中有个中有个

可以为0,

有

该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令

即可实现（这里默认

8． 设随机变量独立同分布，且

），因此，

是充分统计量. 试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

这正是伽玛分布

的特征函数，由唯一性定理知

所以由

诸

的相互独立性

得

的特征函数

为

与

是一一对应的，因为给出

也可构造出

，

是充分统计量.

就可算得

二、计算题

9．

设

试求概率

【答案】由均匀分布

为独立同分布的随机变量，共同分布

为

可算得

其算术平均

为