2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，
（1）存在
使得
使）
知
则令
是基，结论得证. 不然，
若
则
的真子空间，
使
2． 称方阵
为上（下）三角形矩阵，若
时
证明：
故
线性无关.
是V 的基，
结论得证，不然重复
故
线
性
无
关
，
且
（2）存在V 中的一组基（
2
）
由
（
1
是V 的S 个真子空间，证明：
【答案】（1）由有限不覆盖定理，
上面的步骤，并如此进行下去，得到基
（1）两个上（下）三角形矩阵之积仍为上（下）三角形矩阵； （2）可逆上（下）三角形矩阵之逆矩阵仍为上（下）三角形矩阵. 【答案】（1）设
与
均为n 阶上三角形矩阵，即
从而由矩阵乘法可知，若（2）设上三角形矩阵A 可逆且
则当i>j时
则
即AB 也是上三角形矩阵.
当A ，B 为下三角形矩阵时，易知AB 也是下三角形矩阵.
比较两端第一列元素得再比较两端第二列元素得矩阵.
对下三角形矩阵可类似证明.
于是
如此继续下去可得
，即
为上三角形
3． 证明：以下阶方阵可对角化，并求其若尔当标准形
.
【答案】由于中有阶子式
为非零常数，故其从行列式
阶行列式因子
的最后一列开始，每列乘A 都往前一列加，得
于是A 的最小多项式为无重根，故A 可对角化. 而在复数域上的初等因子为
其中为n 次原根. 由此得A 的若尔当标准形为
由上知，
的不变因子是
4． 设
为方程的三个根，使
的所有实数n ，并对每个这样的口，求出相应的【答案】令因为
代入原方程得
为原方程的三个根，所以
为②的三个根. 于是
在代数中有公式
在⑤中令
并注意④式，那么①式变为
（1）当所 以
由此可得
由于为原方程的根，将代入方程，得l —6+a+a=0.解之
，
（2）
当
由此
可得（3）
当
5． 已知矩阵
时，
则
代入原方程，可解
得
代入方程，可求
得
所
以
这时
有
问a ，b 为何值时，A 与B 相似，并求可逆矩阵P 使得【答案】若
则
于是得方程组
解得当
时，由
故A 的特征值为解方程组
取基础解系
令
则
且
再求
.
取基础解系
解方程组
6． 证明：以下三个多项式为在此基下的坐标.
【答案】设于是又设
则得
这就是g （x ）在基
的一基：代入并整理后得
因此， 由此得
T 的坐标.
线性无关，从而为基.
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