2017年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院915高等代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：直和可以“代入”和“加括号”，即
①若②若
【答案】 ①由显然则但是因此，
显然. 又若
可设但因此，
是直和，故
则
从而
又若
于是由（11）得
故
且
则
则
得
2． a ，b 取什么值时，线性方程组
有解？在有解的情形，求一般解.
【答案】对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形
易见只有a=0且b=2时原方程组才有解.
由它的同解方程组
解出它的一般解为
它有一个特解部解为
3． 设n 阶方阵A 的全部特征值
（1）当A 可逆时，（2）当A 不可逆时，
【答案】（1）由A 可逆，则其特征值所以
则
记
则为
又
则
是0的线性无关的特征向量，故0的所有特征向量为
当
因为
所以 4．
的特征向量是
是非零数，且0的特征向量是式
是不全为0的数.
线性无关，
因为
故第n 个特征值
若
0的几何重数
记
则结论成立.
则
的特征值0
的重数
记
不妨设
若
故所有非零n 维列向量都是其特征向量. 若
且
相应的特征向量为
并求出
全不为0, 因为
相应的特征向量. 的特征值为
求证
它的导出组的基础解系为
原方程组的全
（2）当A 不可逆时
，
是n 维线性空间V 上的一个线性变换. （1）若（2）设
’在V 的某基下矩阵A 是多项式的最高次的不变因子是
则
的伴侣阵，则的最小多项式是
的最小多项式是
【答案】（1）因为A 是有
设
的伴侣阵，所以是A 的特征多项式，因此d （A ）=0, 即
则
其中
又单位矩阵可表成
都是矩阵.
因此
，
综上，d （x ）是（2）设用
表示
的最小多项式.
其中
是
的次数最高的不变因子.
的不变因子是
的伴侣矩阵，i=l，2，…，s 那么A 与下列矩阵相似
线性无关，对次数小于n
的多项式
都有
即
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