2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
（1）证明：（2）把【答案】（1）
和
线性无关；
扩充成一个极大线性无关组.
这两个向量不成比例，故线性无关.
排为第1, 2, 3, 4, 5列，
对它作初等行变换化成阶梯形
.
（2）作矩阵A ，它分别把
由于初等行变换保持列向量之间的线性关系，以及B 的第3列是第1列及第2列的线性组合，第1列，第2 列，第4列线性无关，第5列又是第1列，第2列及第4列的线性组合. 故线性无关
，
组. 于是
2． 设
是
的线性组合，即
的扩充.
分别添加到
中都成为线性相关向量
是极大无关组，且是
是n 维空间V 的两个子空间，且其维数之和等于n. 证明：存在V 的线性变换V 使
则取T=0; 若
则取T=I, 即得. ）且
与
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【答案】若设
维数分别为S ，T （于是
分别为（其中
与的一基. 现扩充为
使
个向量）为V 的一基. 于是，存在T 的线性变换T 使
由此可得
下再证：任取则由（8）得所以因此，又因为
3． 证明：
故由（8）知
从而
则
再令
（9）
【答案】在展开式中，对每项应用
再合并成n 个行列式.
4． 设性无关，则交
其中
的维数等于齐次线性方程组
的解空间的维数. 【答案】由假设知，故由维数公式得
由于（5）是
元线性方程组，又
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均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线
维数为S ，维数为t. 又因为
=方程组（5）系数矩阵的秩，
故由（6）知，
5． 设
证明：必存在实n 维向量【答案】设化为规范形
因有
使
故正惯性指数令
代入 6． 设相似. 证明, 得阵要性因
任取
故有
【答案】取定线性空间V 的一组基. 设T ,
相似，则存在可逆矩阵S ，使如
则因
的自然
基
即
所以
7． 设
求
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维数=（5）的解空间维数. 是一实二次型，若有实n 维向量
使
经非退化线性替换
使
又因有使故负惯性指数即
得一个实向量就满足
则称
可
是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使
相似的充要条件是：存在可逆线性变换S ，使对V 中任一向量，由
在该基下的矩阵仍记为
中任给向量
显见问题等价于矩
. 如. 可得
必
相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使
充分性由题设，存在可逆阵S ，
对
从而有
.
由可
得
即相似.