2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设3次多项式
能被（1）求（2）问
整除.
是
的几重因式.
即
计算行列式得
因此b=a或b=l. 另一方面，因为
是一个3次多项式，所以其3次项系数不为0. 即
所以综上，得（2）
其中a=b，所以
【答案】（1）因为
所以
是的单因式.
2． 令A 是复数域上一个n 级方阵.
（1）证明：A 相似于一个上三角阵； （2）令
是A 的特征多项式，证明：
（不许用哈密尔顿一凯莱定理）证
【答案】（1）设A 的Jordan 标准形为
其中
由于
为上三角阵，从而J 为上三角阵，所以
（2）设其中由①式有
为A 的特征多项式，且
互异，那么
3． 设
数. 作线性方程组对任何
有解.
有解的充要条件是A 可逆
.
分别有解
令
所以A 可逆
.
同理可证:（II ）对任何
事实上，由
知
因此问题归结为证明
. 一
设对n 阶单位矩阵E 的第i
列，则有
【答案】首先证明，（I ）对任何
为数域P 上的n 阶方阵，满足条件
试证明方程组（I ）对任何
其中b 为一个非零常有解当且仅当（II ）
故有
4． 已知二次型
问题得证.
（1）写出f 的矩阵A ；
（2）求出A 的特征值及对应的特征向量. 【答案】（1）二次型的矩阵为
（2）可计算得所以其中
当
当
时，得特征向量为P 中任意非零常数.
A 属于-1的全部特征向量为
时，得特征向量
A 属于1的全部特征向量为
其中
为P 中任意非