2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算n 阶行列式
【答案】
2． 设
为两个不全为零的多项式，n 为正整数. 证明：
【答案】①若则显然 _反之，
设
从而
这与
②证法I 设则
于是由①知
且令
因此
证法II 设f , g的次数都大于零，且
其中令
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下
证若不然，则必有不可约多项
式
矛盾.
从而由（2）得
为首系数是1的不可约多项式，与为非负整数. 于是得
，则于是由（3）（4）得且
3． 设变换：定义为
（1）证明：是线性变换. （2）求出在下述基下的矩阵：（3）求出在下述基下的矩阵：（4）写出
到
的过渡矩阵.
【答案】（1）由已知，得
因为
所以是线性变换. （2）由
故在基（3）令
则
故在基
的矩阵为
（4）由
故由
到
的过渡矩阵是
下的矩阵是A.
证明一个线性变换是可逆的，常用的方法有两种：一是用映射的方法证明可逆，如果线性空间是有限维
的，则只要证是单射或满射；二是用矩阵的方法，证明线性变换的矩阵可逆.
4． 设K 是一个数域，x 是一个不定元，给定正整数n ，令
关于多项式加法和K 中数的乘法组成K 上的一个线性空间，在此线性空间中定义变换
这里
为多项式
的微商
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（1）证明：D 是一个线性变换； （2）令E 为（3）在【答案】 （1）
∴是（2）在
到
的一个线性变换. 中取一组基为
可得
其中设
又因为恒等变换E 在这组基下矩阵为n+1阶单位阵在这组基下矩阵为B , 则
此即为
的全部特征值.
下的矩阵成为Jordan 标准形.
（3）由②式知A 是若当块，故D 在基
有
的恒等变换，求E+D的全部特征值；
内找一组基，使D 在此组基下矩阵成为Jordan 标准形
5． 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
（1）次数等于法；
（3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； （4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； （5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：，数量乘法定义为：（7）集合与加法同（6）（8）全体正实数
加法与数量乘法定义为：
的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
（2）设A 是一个n ×n 实矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘
【答案】（1）否. 该集合中没有零多项式，即没有零元素，故不能构成线性空间. （2）是. 令
给定
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及k 是实数，这时f （x ）