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一、分析计算题

1． 设A 为

实矩阵，则存在n 阶正交阵Q 和m 阶正交阵P , 使得

其中

且秩

【答案】因为AA' 乒正定，从而存在正交阵P , 使

由于令

不失一般性，可设

由②得

将P 分块. 令

则

由于P 为正交阵，因此

令又因为由⑦可得

由于秩

矩阵

但

因此这样由

由于

有m —r 个线性无关的解. 将它们正交单位化后，

构或可得

从而Q 为正交阵. 并由④⑨式得

. 则

用6左乘，实矩阵，且

所以

_右乘④式两端得

由⑧式，得

其中由⑧即证

2． 设A , B是n 价实对称阵，定义

证明：所有n 阶实对称阵所成V 关于（A , B）成一欧氏空间. （1）求V 的维数； （2）求使（3）求

的空间S 的维数； 的维数.

是R 上的一个线性空间

再证①是V 的内积，从而得证V 是关于内积①的欧氏空间. 实事上

此即证V 是欧氏空间. 证

是（i ，j ）元为1, 其余一元均为0的n 阶方阵，那么可证

为V 的一组基，于是

（2） 因此（3）

3． 求

（1）（2）（3）

【答案】（1）用辗转相除法进行计算

令

故

与

的最大公因式：

可证S 是V 的子空间，由于

【答案】首先可证

所以

（2）（3）

4． 证明：以下三个多项式为在此基下的坐标.

【答案】设于是又设

则得

这就是g （x ）在基

5． 设f 为双线性函数，且对任意的

求证：f 为对称的或反对称的 【答案】令（1）若

（2）若所以

都有

有则

有则

即f 为反对称的.

当且仅当存在n 阶非零方阵曰，使得AB=BA=0.

结合

得，秩

的一基：代入并整理后得

因此， 由此得

T 的坐标. 都有

，即厂为对称的.

有

从而有

.

线性无关，从而为基.

再求

6． 设A 是n 阶方阵，

则秩

【答案】由于存在非零方阵B , 使AB=0, 所以