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一、证明题

1． 设

【答案】由上确界定义，对

证明：存在

使使

又由

2． 证明下列命题：

(1) 若

在

上连续増，

则(2) 若

为在

上的增函数。

上连续，且

则

为

【答案】(1) 由

在

上连续及洛必达法则，得

因此F (x ) 在

点右连续，从而

在

上连续，又当

时，

根据积分中值定理，存在

使

所以

由

在

上单调增，得

从而当

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成立.

由迫敛性得

上的严格增函数，

如果要使

在上为严格増，

试问应补充定义

时，

故为上的増函数。

因此

在

内可微，且

(2) 由题设，可得

由而

知，函数

故

为

在上非负，且不恒为零，所以内的严格增函数. 因

从

所以补充在上严格增。

3． 求证:

(1) 若

(2) 若

有

则则

使函数

成为上的连续函数，再由可得

，所以对任给定

存在m ，当

时，便有

于是，对

【答案】(1) 因为

注意到，当取定时，这样，当

时，有

从而(2) 因为

对

4． 证明：若

【答案】

在区间上一致收敛于0, 则存在子列

使得

在，上一致收敛.

使得

在上一致收敛于0,

所以对任意的自然数

总存在自然数

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便是一个有限数，再取

使得当时，有

应用第(1) 小题结论，即得

而级数

收敛，由魏尔斯特拉斯判别法，得级数在上一致收敛.

二、解答题

5． 过直线P :

【答案】设

作曲面切点坐标为

曲面在点即

其法向量为

于是有

解之得

故所求的切平面方程为

6． 求曲面方程为

即

法线方程为

即

在点

处的切平面方程和法线方程.

所以切平面

【答案】由于z 在(1，1) 处可微，从而切平面存在. 因为

的法向量为

又过直线T 的平面方程为

的切平面，求此切平面的方程.

则

7． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。

图

【答案】椭圆柱面的方程为

设垂直于X 轴的截面面积为

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则由相似三角形的