2017年青岛大学数学科学学院657数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1．
设
点
到集合E
的距离定义为
为开集，
由
由于即表示 若
使这表明
则
又
即
即
综合两方面，有
2． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。
【答案】设
收敛，令于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件.
如果集合
只含有有限多个不同的实数，则从某一
的极限.
如果集合
至少
中
都含有集合
于是，对任给的
存在正整数N , 使得当
时，
有
故
若
但
即X 为E 的聚
因而
若
则由于
或
存都
这说明X 为E 的聚点，所以不论
证明：(1) 若E
是闭集
故使
’因而
则
(2) 若是E 连同其全体聚点所组成的集合(称为E 的闭包) . 则【答案】(1) 因为E 为闭集，所以E 的余集
现(2) —方面，在点列有.
即另一方面，点，因而
使
有
即
项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点
假如
无限多个点. 这与取
整数N ，当对于任意使得
有两个不等的聚点
存在正时，有存在N , 使得当因而，当
时，
故数列
收敛于
3． 设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域，函数函数
偏导连续，证明：
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含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合
不妨设
矛盾. 故时，
的聚点是惟一的，记之为 又因为是
的聚点，所以存在
令
则与
在V 上与S 上具有二阶连续偏导数，
【答案】(1) 由高斯公式：
令
有
即
(2) 由(1) 式用
代替可得
类似地可以得出：
三式相加，再由第一、二型曲面积分关系可得
二、解答题
4． 方程
【答案】令.
能否在原点的某邻域内确定隐函数
则有
在原点的某邻域内连续；
均在上述邻域内连续；
故由隐函数存在惟一性定理知，
方程
5． 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性：
，D 为全平面；
【答案】⑴令
当
时收敛. 当
时发散，所以积分
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在原点的某邻域内可确定隐函数胃
在时收敛，时发散.
(2) 由区域的对称性和被积函数关于x 和y 的奇偶性得
由于(3) 由条件知
由分也发散；
所以当
6． 若L 是平面其中L 依正向进行。
【答案】因
故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得
7． 求由抛物线
与
所围图形的面积。
和
所围图形的面积为
【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为
上的闭曲线，它所包围区域的面积为S , 求
时积分发散，
时积分收敛.
当
时收敛，此时原积分也收敛；当
时
发散，此时原积
当
时收敛，
时发散. 所以原式当
时收敛，其他情况发散.
图
8． 设
这里max 表示取最大值函数，求f （x ）的原函数.
当
时，有
【答案】f （x
）的原函数为
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