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一、证明题

1．

设

【答案】因为

所以，当

时

在S 的外部时，由高斯公式，有

在S 上时，

如果S 在敛。

同样，取充分小的

记为以

为球心，为半径的球面，用表示从S 上被截

下而不被所包围的部分曲面，

表示上含在V 内的部分，则

其中，取内侧. 因为s 在点

是光滑的，在点

有切平面，所以S 在点(0, 0, 0)

为无界函数的曲面积分，且

收

S 为一封闭曲面

，

证明当原点在曲面S

外、上、内时分别有

是光滑的，由类似于无界函数的二重积分的讨论，可知反常积分

的附近可用这个切平面近似代替，即S 2可看作的半个球面，故

在S 的内部时，取充分小

使以

为球心，为半径的球面在V

的内部，记为S 和所围成的区域，取内侧，则

2． 证明：(1) 两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；

(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数； (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.

【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数，令

则

所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数，f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数. (2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数，

则

所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.

(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数，g (x ) 为D 上的偶函数，

所以f (x ) g (x ) 为奇函数.

3． 设为使

【答案】

先证

在则存

在

(

使得

矛盾，故原命题得证。

对

介

于

上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，

假设恒有

使

得

设

由泰勒定理得

，

这

与

使

使得

在则存在

这与假设

之间) . 于

是

上的二阶可导函数，若在

上有界，则存在

则

上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.

假设不存在

应用达布定理可知，

存在

二、解答题

4． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小。

【答案】令

所以

5． 在曲线

是

则的极小值. 因此

由

得

舍去-1得

故

时，它与其倒数之和最小。

上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是

上点P

坐标为

即曲线

由由方程组

在Q

点的切线斜率

在P 处切线斜率的四倍.

【答案】设曲线切线方程为交点为

得该曲线过点P 的切线斜率

解出切线与曲线的

因此

即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

6． 求a 、b 使下列函数在x=0处可导：

【答案】由于函数在x=0处可导，从而连续；

由又由

7． 求下列极限：

【答案】（1）极限所以，

（2）当（3）由于

时，

所以

：不妨设

则

所以

（4）

（5）

（6）因为

所以

得到b=l: 得到a=0.

由f （X ）在其有定义的邻域内的值来决定. 而当时

，