当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明函数

在

上连续. （提示:证明中可利用公式

据

所以

为积分下限函数是﹣y 的连续函数, 所以F （y

）在

2．

设连续函数列明

:

均有值,

取

因此有又函数g （x ）

在上一致连续, 所以

又注意到

致收敛于g （f （x ））.

3． 设悬链方程为A （t ）.

该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为

证明（:1）

【答案】（1）由弧长公式得

第 2 页，共 30 页

【答案】令 x －y=u, 因此 x=u＋y ,

上连续.

上连续, 证

时,

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 而g （x

）在在[a, b]上一致收敛于f （x ）, 所以, 存在N 1, 当即

I

又因为

在[a, b]上一致收敛于g （f （x ））.

【答案】因为

和f （x ）在[a, b]上连续, 一定存在最

上连续, 所以g （x ）在[﹣M , M]上也连续, 因而g （x ）在[﹣M , M]

当

时, 有

当n>N时,

,

这说明

, 有

在[a, b]上一

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 对上述

因此可得

它在上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:s （t ）、

（2） （3）

由定积分的几何意义可得

（2）旋转体体积为

侧面积为

所以

（3）x=t处的截面面积为 所以

4． 若f 在[a,

b]上连续可微, 则存在[a,

b]上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h , 使得

【答案】因为f 在[a, b]上连续可微, 所以在[a, b]上连续. 令

因此, 所以

与

在[a, b]上连续, 从而是可积的且

.

, 取C=0

并且g （x ）是增函数

, h （

x ）是减函数.

二、解答题

5． 己知

【答案】首先证明 令

代入①的左端得

故①成立.

①

试讨论函数f （x , y ）在原点（0, 0）处是否连续？

第 3 页

，共 30 页

又因为根据迫敛性可知，

所以函数f （

x , y ）在原点（0, 0）处连续.

6． 有一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 间底的半径与容器高的比例应该怎样?

【答案】设底的半径为r , 则

, 由

, 容器的高

, 又因为

,

故

. , 容器的表面积

于是故

得

,

,

是S （r ）的极小值点,

此时

即当底的半径与容器的高的比例为1: 1时, 容器的表面积为最小.

7

． 试写出单位正方体为积分区域时,

柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】

在柱面坐标系下,

用z=c

的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为

在球面坐标系下, 用

的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为

和

和

其中

第 4 页，共 30 页

.