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一、证明题

1． 证明下列结论:

f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）

在【答案】（1）假设从而有

（a ）为极限, 从而数列

当再证:当即

2． 设f （x ）在

证明:【答案】

及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间

,

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

可得

在x 与x-h 之间

时有

时有

, 由g （x ）单调递增, 则有

, 矛盾. 从而当

上二次可微, 且

时有

（2）不妨设g （x ）单调递增. 对

.

由

（反证法）若结论不成立, 即存在

, 使得, 于是

, 即

,

, 则

）有

, 对任意正整数k ,

,

（正常数）, 即数列

也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是

知

,

的子列

不以f , 则, 则, 使得

.

上有定义, g （x ）单调, 且

已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有

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3

．

证明:含参量反常积分收敛

.

【答案】

（

1

）令

有

在上一致收敛（其中）,

在内不一致

根据定义,

. 取

有

（2

）取

, 对于任意

N>1,

取

, 使得

故

4． 证明:若

【答案】

存在, 则

在

内不一致收敛.

二、解答题

5． 计算下列第二型曲面积分

（1）

方体表面并取外侧为正向;

（2）取外侧正向;

（3）

其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外

, 其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a六个平面所围的立

其中S 是以原点为中心, 边长为2的立方体表面并

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侧为正向;

（4）（5）

【答案】（1）因

所以原积分由于

因此原积分=3× 8=24. （3）由对称性知,

（4）作球坐标变换, 令

►则

（5）由轮换对称知只计算

, 由

, 利用极坐标变换可得

因此原式

=

, 故

.

其中S 是球面

的上半部分并取外侧为正向;

, 其中S 是球面

并取外侧为正向.

（2）由对称性知只需计算其中之一即可.