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一、证明题

1． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且对任何

【答案】设

.

设

且（或

异号, 由根的存在定理知, 在区间

, 则f 在, 由题设知

上恒正或恒负. . 假如

,

那么

与. 这与

）内至少存在一点, 使得

, 即f 在题设矛盾. 故上恒正. 时同理可证f （x ）恒负.

2． 设f 以为周期且具有二阶连续的导函数, 证明f 的傅里叶级数在上一致收敛于f.

【答案】因f （X ）是以为周期的具有二阶连续导数的函数, 故f （x ）, f （x ）可展开成傅里叶级数, 不妨设

要证f （x ）的傅里叶级数在

上一致收敛于, f 只需要证明级数

收敛, 则由定理可知f （x ）的傅里叶级数一致收敛于f 由周期性可得所以

由贝塞尔不等式知级数

收敛, 再由

收敛知

收敛, 所以f 的傅里叶级数在

3． 证明下列不等式:

（1）（3）

（2

）（4）（

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因此

1收敛, 进而

上一致收敛于f

【答案】（1

）因为续, 且不恒等于1或

, 所以由积分不等式

, 函数在上连

即

（2）因为在[0, 1]上, （3）由于在

上,

,

且函数不恒等于1和e , 所以有

, 所以有

（4）设大值点,

而可导函数惟一的极大值必为最大值, 所以又从而

,

且, 由此得

4．

设f 在区间

上有界, 记

证明

【答案】对任意的

即

故

设为任意正数, 则存在于是有

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, 则, 得f （X ）在[e, 4e]上惟一的驻点为

. 可验证它是极

为函数f （x ）在[e, 4e]上的最大值,

, 故

在[e, 4e]上的最小值

,

t 于是有

使得

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故

二、解答题

5． 用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性:

⑴（3）（5） （7）

【答案】（1）因（2）因（3）因（4）因

（5）因（6）因所以原级数发散. （7）

6．

设

其中f （x ）为可微函数, 求

.

在定义区域内连续, 所以

同理

故b>a时原级数发散，b

时原级数收敛.

（2

） （4） （6

）

，故

，所以原级数发散. 所以原级数收敛.

故

故原级数收敛.

故

所以原级数收敛. 所以原级数发散.

【答案】由于函数（x —yz ） f （z ）与

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