2018年新疆师范大学数学科学学院717数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
所以f （x , y ）在点在D 中取两个点列
, 则
. 证明f （x , y ）在D 上连续, 但不一致连续.
, 由极限的四则运算法则知
连续, 从而f （x , y）在D 上连续.
, 则
但
所以f （x , y ）在D 上不一致连续.
2． 证明:若是闭区间.
【答案】若f 在D 上不恒为常数. f 在D 上有界且能取得最大值、最小值, 分别设为M , m 则
且下证任给
3． 设
【答案】根据题意可知
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:是有界闭域, f 为D 上连续函数, 且f 不是常数函数, 则f （D ）不仅有界, 而且
即
由介值定理,
必存在
使
从而
,
故
于是
证明:极限存在并求之.
又
所以从而设
4． 设f 为
上的递增函数. 证明
存在, 且
【答案】
取
, 即f （x ）在于是对任给的并当
存在时, 有
因为f
为
上有上界. 由确界原理知
使得
在
令即
上的增函数,
所以对
上有上确界, 令
则
故
有
单调递增有上界
由单调有界定理知极限存在.
两边取极限
得
解
得
即
二、解答题
5． 求下列不定式极限:
【答案】 （1）（2）（3）（4）
（5）
.
.
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（
6）
（7
）
因为所以
（8
）
（9
）（10）
（11）
（12）因为
,
.
,
,
.
所以
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