2018年延安大学814数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在[0, 1]上连续且满足
证明:
【答案】显然,
, 有
对上式从0到1积分, 得
在上式两边同乘以正数
, 得
最后一步的不等式是根据函数 2． 已知
【答案】
3． 设f （x ）在
上有一阶连续导数, 且f （0）>0,
, 证明:
【答案】
,
由
, 有
对其取极限可得
由已知条件有
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有最大值而得到的.
试证
. 若
.
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二、解答题
4
． 计算
, 其中S 为圆锥表面的一部分
这里为常数【答案】由于
则
5． 计算
a ＞0, b ＞0
, c＞
0.
使其完全包含在
内. 所以
作代换
进行计算后得到
解法二:作
使其完全包含在
第
3
页，
共 27 页
.
【答案】
解法一:
这是一个第二类曲面积分, 不妨设其方向为外法线方向.
设
经演算得到
在原点附近补一个小椭球在
与V 之间的区域, 被积函数有连续偏导数, 满足高斯公式, 由
内
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6． 设f
是一元函数, 试问应对f
提出什么条件,
方程2f （xy ）=f（x ）＋f （y ）在点（1, 1）的邻域内就能确定出惟一的Y 为z 的函数？
【答案】设且
因此只需
在x=﹣l 的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在（1, 1）的某邻域内连续. 所以, 当
在
x=l的某邻域内连续, 且时, 方程就能惟一的确定y 为x 的函数.
7． 求曲面与平面y=4
的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.
【答案】设该角为
则根据导数的几何意义, 切线对Ox
轴的斜率为
所以切线与Ox 轴的交角为
8． 求曲面
az=xy包含在圆柱
【答案】设曲面面积为S. 由于
所以
9． 作函数导法, 得
由
, 可知x=l为垂直渐近线. 又因为
所以有斜渐近线
. 根据表和渐近线, 画出函数图形如图所示.
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, 则
内那部分的面积.
, 其中
D 为. 应用广义极坐标变换,
的图形.
由定义可求出
; 当
时, 利用对数求
【答案】函数的定义域为