2017年淮北师范大学数学科学学院621数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
在
上非负连续，
在
上连续单调增加，则
【答案】用重积分来证明. 考察差
交换积分变量x 与y 的位置，仍然有
于是有
从而原不等式成立.
2． 求证：序列
【答案】对
只要
发散.
及
便有
3． 证明不等式
【答案】由于
在.
恒大于0,
令，
显然
在
上连续.
证原不等式可转化为证由于
令则
所以从而
所以
即
上单调递增，所以
即，
从而
单调递增，故
二、解答题
4． 重排级数
【答案】注意到使得
存在
使得
如此下去，
存在
因
5． 对幂级数
及
使得
这样得到一个重排的级数
及
. 均是发散的正项级数，从而存在使它成为发散级数.
使得
存在
发散，可得此重排级数必发散.
(1) 求收敛域；(2) 求和函数；(3) 讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性. 【答案】(1) 由
于
的收敛域为
(2)
令
则
所以收敛半径为1,
又发散，
故
其中故(3)
取
则
由于
不趋于0,
于是
在
所以
(-1，1) 上不一致趋于0, 故该幂级数在收敛域上不一致收敛.
6． 分别求出满足下述条件的常数a 与b :
【答案】
7． 利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间
.
【答案】(1) 由(2)
由
可知
可知