2017年淮北师范大学数学科学学院621数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明：若点极限都存在，则
在内有
开覆盖.
(2) 利用致密性定理解:反证法。假设使
得
则
矛盾。
(3) 利用区间套定理解:反证法. 假设使得
在每个区间
在
上无界，则利用二等分法构造区间套
然后讨
上无界. 由区间套定理，存在唯一的
于是得到数列
由致密性定理
，
. 中存在收敛子
列
设
在
上无界，则对任意正整数n ，存在
上有界.
设
即
则
使得在
的一个
以此构造闭区间
【答案】(1) 利用有限覆盖定理解:由已知，
在
上有定义，且在每一
论在点邻域内的有界性，推出矛盾.
2．
设连续函数列
在
上一致收敛于
在
上一致收敛于
在
即
取因此有又函数
在
一致连续，所以
上连续，
所以
在
上一致收敛于
又因为
和
【答案】
因为
而
所以，
存在
在
在当
上连续，证明
：时
，
均有
上连续，一定存在最值，
上也连续，
因而在
有
上
又注意到
收敛于
在上一致收敛于对上述当
时，这说明
有
在
上一致
因此可得
3． 证明二重积分中值定理(性质7) .
【答案】性质7 (中值定理) 若f 为有界闭域D 上的连续函数，则存在
因为f 在D 上连续，所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m ，对D 中一切点有由性质4知：
即
再由定理16.10知，存在
使得
使得
二、解答题
4． 设及
【答案】其中
其中
5． 设
（1）若在某（2）证明若
内有则在某
内有
保不等式性只能从内
所
以即
同时，由于取
其中在
上可导，求
问是否必有
推出
例如，
取
为什么？
【答案】（1
）不一定有
则在0的任一空心邻域
（2）
令
时，有
因
为
但
由
于
所以存
在
使得
当
所以存在
，
则当
使得当时
，
时，有
即在空心
邻域
即
内
有
6． 判断积分
【答案】（1）当p=q时，
的收敛性，其中p 和q 是参数.
易知：当p 收敛， 当 时， 发散; 当 时， 收敛， 当 时， 发散. 所以不论p=q取何值，一定有（2）当由当 时， 时，不妨设 对于无穷积分知：当q>l时， 发散. 的收敛性. 发散. 收敛； 下面在q>l的前提下讨论若 则 为正常积分，收敛. 知： 若p>0， 由当0 收敛； 当 时， 发散. 综合可知： 当 或 时 ， 和发散. 都收敛，从 而 收敛敛；在其他情况下，