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一、证明题

1． 设

证明：

对任意【答案】对任意稠密性，可以在

这说明f (x ) 在

上无界.

2． 设E 为平面上一个有界闭集，连续函数f 将E —对一映为平面上的点集F ，证明：(1) F 也是有界闭集；(2) f 的逆映射也是连续函数.

【答案】(1) 由E 为有界闭集，f 为连续函数，显然F 是有界的. 下证F 为闭集.

设

为F 中的任意一个无限点集，对于每个即存在

的子列

满足

则

从而为聚点，即F 中的点均是聚点，从而F 为有界闭集. (2) 由f 是一一映射，

知在

3． 设曲线明

【答案】由对称性知

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任意正数

对任意正数中选取有理数

这样

有f (x ) 在上无界.

对任意正数M>0, 由有理数的

存在一个使的

它必有聚点

存在. 并且对

’

时，在

连续. 由

存在

的任意性，知

使得

令上述

即当

是F 上的连续函数.

由

时

，

连续，

当从而

的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令证

4． 证明关于函数

(1) 当x>0时，(2) 当x<0时，【答案】即

(1) 当x>0时，式(2) 当x<0时，式

两边同乘以X ，得到两边同乘以X ，得到

是不超过

的如下不等式：

的最大整数，因此

二、解答题

5． 求极限：

【答案】由极限的运算性质知

6． 判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：

（1）若（2）若而数列

当

和

都收敛，则和

是发散的.

存在正整数

今

上的傅里叶级数具有什么特性？

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其中

收敛；

收敛.

数列

和使得当

都收敛，

时

，

则

都收敛，且有相同极限，则

【答案】（1）该结论不成立. 例如，

（2）该结论成立. 设相同的极限是a ，则对于任意

时

当

时

，

即问此函数在

示为其中m>N，r=0，1，2时，

7． 设函数f (x ) 满足条件

【答案】因为n=l, 2，... 时

则n 可以表

所以

8． 若L 是平面其中L 依正向进行。

【答案】因

故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得

9． 求极限

【答案】记它可看做

在

上对应于n 等分割T 及介点

故

10．计算下列引力：(1) 均匀薄片引力；(2) 均匀柱体

对于点

对于轴上一点

处的单位质量的

处的单位质量的引力；(3) 均匀密

的积分和，于是

上的闭曲线，它所包围区域的面积为S , 求

同理可得

即f (x ) 在

内的傅里叶级数的特性为

度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.

【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此

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