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一、证明题

1． 设是集合E 的全体聚点所成的点集，

【答案】因为是的一个聚点，所以

是P 的一个聚点. 试证：自

设

又因为以

. 限

3． 设

【答案】因为

于是，

或

即

证明：设

由于

就不存在，不能设或

所以

(

当

对) ，即

两边取极

因此

.

即

是E 的一个聚点，所

又因为是

集合E 的全体聚点所成的点集，因此是E 的一个聚点. 所以

2． 试问下面的解题方法是否正确：求

得a=2a，所以a=0.

【答案】这个解题方法是错误的. 因为

证明

：

二、解答题

4． 求下列极限：

【答案】

（6）令

（7）令

（8）

所以

因为当

时

，

所以

5． 判别下列广义积分的收敛性：

【答案】（1）此广义积分有瑕点当则有

时，因为

，有

与

.

，所以当

时，取

，（p 是固定的）

则当

则

时，

相当于于是

于是

由于此处当

故

时，因为

收敛. 所以当

有

所以只要取

则有

时. 即当

时，

收敛.

以上两方面结合起来，当. （2）此广义积分有瑕点当

时，因为

时，则原广义积分收敛.

由于此处当

6．

设

时，因为

故收敛.

所以

发散.

以上两方面结合起来，则原广义积分发散.

在在点

上二次连续可微

，

的切线在轴上的截距，试求极限

【答案】利用切线方程求出

将

在

作泰勒展开：

（这里利用了当

时

，

这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是

对

使用洛必达法则，可得

故原极限在点

的邻域内

且

又设

表示曲线

7． 设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程就能确定出惟一的Y 为z 的函数？

【答案】设

且

因此只需

1

在

的某邻域内连续，则

时，方程求

..

在

，则

的某邻域内连续. 所以，当

就能惟一的确定为的函数.

的最大最小值.

在的某邻域内连续，且

8． 设

令求驻点：

【答案】(1) 先考查内部情形，利用求条件极值的拉格朗日乘数法