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一、证明题

1． 若

在R 上存在三阶连续导数，且

有

证明:将.

至多是二次多项式.

在x 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中，比较两端可得

当

时，有

由三阶导数的连续性，有

2． 证明：设方程

所确定的隐函数

具有二阶导数，则当

【答案】由题设条件可得

故

所以

3． 用柯西收敛准则证明

:

【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有

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【答案】只需证：

时，有

收敛.

当

时，

为自然数，都有

由柯西收敛准则，

4． 试确定级数证明你的结论.

【答案】由

所以当x>0时级数敛域为

由于

而

所以级数的一般项在敛.

而

因因为敛，所以点

的任意性可知

有

收敛(利用比式判别法) ，

故在

上连续，所以

当

上一致收敛，从而

内连续、可微.

时有

内不一致收敛于0，故级数

使得当在

在时有

上一致收敛.

上连续，从而在点

而

上可微，因此在点

连续.

收可微. 由

内不一致收

收敛，当x<0时发散，当x=0时级数

发散，所以级数的收

的收敛域. 又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连续？是否可微？收敛.

二、解答题

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5． 求由下列曲面所围立体V 的体积：(1) V 是由

(2) V 是由曲面【答案】(1)

由

故体积

所围的立体.

和z=x+y所围的立体； 因此积分区均

这里应用变换(2)

由

底面为

所以立体V 在xOy 平面上的投影为D

:

则体积

且

•, 所以

立体的顶面为

6． 设函数

其中

问：

都存在？

可知，当

即f (x ，y ) 在原点连续.

欲使上式极限存在，必须有同理可知，当(3) 由(2) 知，当

时，时，有

此时，

且

时，

(1) 对于P 的哪些值，f (x ，y ) 在原点连续？ (2) 对于p 的哪些值，【答案】(1) 由有(2)

(3) 对于p 的哪些值，f (x ，y ) 在原点有一阶连续偏导数? 并给出证明.

而

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