当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若级数

与

收敛，则级数

和

也收敛，且

【答案】因为又所以

及

均收敛，所以

收敛，

故

，收敛. 又因为

收敛，故由柯西-施瓦兹不等式

及闵可夫斯基不等式

»

对

取极限，进而可得所证明的不等式.

函数

及

故

为Ⅰ上的凸函数。

为I 上的凸函数，则对任何的

及

有

必要性，设

为有

上的

2． 证明：为Ⅰ

上凸函数的充要条件是对任何

凸函数。

【答案】充分性，设

为

上的凸函数，则对任何的

故

3． 设

为

上的凸函数。

证明级数

是收敛的.

【答案】显见级数为正项级数，设级数部分和数列为

第 2 页，共 30 页

则

即该正项级数的部分和存界，从而原级数收敛.

二、解答题

4． 计算下列反常积分的值：

【答案】

（4）令

则

由（3）的结论得

5． 求最小实数C ，使得满足

【答案】一方面

另一方面，如果取

则有

而

由此可知，最小实数

6． 试作一函数

使当

时，

的连续函数

都有

(1) 两个累次极限存在而重极限不存在； (2) 两个累次极限不存在而重极限存在； (3) 重极限与累次极限都不存在；

(4) 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 【答案】(1) 函数因为

第 3 页，共 30 页

满足

故(2) 函

数

也不存在. 但是

(3)

函数

在.

时，(4) 函数

7． 求下列极限：

【答案】因为

所以

8． 求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V (如图) 在

面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分，所以V 的体积

的值在

满足满足当

之间振荡，同理

时，重极限和两个累次极限都不存在，因为

也是一样的.

不存在但是

不存在，

满

足

不存在. 同

理

第 4 页，共 30 页