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一、证明题

1． 证明在

【答案】设所以

在

上严格单调递增.

即

设所以g (x ) 在于是当

时，有

因为

上严格单调递増.

即

故对

成

'

上，

. 则

所以当x>0时，有.

2． 设f ，g 为D 上的非负有界函数. 证明：

(1) (2)

【答案】(1) 对任意

于是

所以

(2) 对任意

于是

所以

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3． 设为无穷小数列，为有界数列，证明：存在正整数N ,

当所以

故

为无穷小数列.

又因为

为无

时，

有为无穷小数列.

因此，当n>N时

，

【答案】因为有界数列，故存在M>0, 使得对一切正整数n ，有

穷小数列，

所以对任给

4． 叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.

(1) 惟一性定理：若极限(2) 局部有界性定理：

若

上有界.

(3) 局部保号性定理：若

的某空心邻域

使得对一切点

在点

时，

从而，

由(2) 设即

这说明函数(3) 设故当对于

在

上有界.

由函数极限的定义知：存在相应的

时，

的情况可类似证明.

对一切

有

的任意性，故A =B

则对

存在

对

有

【答案】(1) 设A ，B 都是二元函数

则对任意正数桓有

处的极限，则对任给的

存在存在

当

1

存在，则它只有一个极限.

则存在点

的某空心邻域

使

在

二、解答题

5． 在曲线

设曲线在即I

所以所求点为

上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面

则有

解之獨

或

；

处的切线平行于平面

【答案】对曲线上任意一点

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6． 设f (x ) 在区间[0，1]上二阶可导且满足敛域。

【答案】由

和的收

及f (x ) 在点x=0连续、可导知

于是

由此可知，当n 充分人时有

又当n 充分大时有

且有相同的敛散性，从而收敛.

即

由此可知

即级数域为[-1，1].

7． 求积分值向.

【答案】的面积.

8． 设

【答案】

9． 求螺旋面

【答案】由于

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的收敛半径R=l，当x=±l 时都收敛，故原级数的收敛

其中L 为包围有界区域的封闭曲线，n 为L 的外法线方

其中为封闭曲线L 所围区域

试按的正数幂展开

的面积.

所以曲面积