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一、证明题

1． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：

【答案】将又因为

比较上面两式的实部与虚部可得

2． 设

【答案】设由于

为m 个正数，证明

：

则

因此

3． 设f 为R 上的单调函数，定义是，g 的定义域是R ,

由于

即

就有

即当

由的任意性知，g 在R 上每一点都右连续.

4． 证明下列函数在指定区间上的单调性：

⑴⑵(3

)

在在在

上严格递増；

上严格递增； 上严格递减.

那么，

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代入欧拉公式，得

证明在R 上每一点都右连续.

极限使得当

时，把y 限制在

故g (x )

在

都存在. 于

时

内，

右连续.

【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理，对一切

对于任给的

于是，当时

存在

【答案】(1) 设

即

故(2)

设由

在

上严格递增.

那么，

可得

于是

递增.

(3

)

则

所以

那么，

由此可得

即

故

在上严格

故

在

上严格递减.

二、解答题

5． 求曲面方程为

即

法线方程为

即

6． 计算下面的三重积分：

⑴(2) 其中

则

【答案】(1) 作柱坐标变换：

在点

处的切平面方程和法线方程.

所以切平面

【答案】由于z 在(1，1) 处可微，从而切平面存在. 因为

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(2) 作新坐标系换(

从坐标系

使轴过点

且使坐标系

到坐标系

之间的变换为正交变到坐标系则由(1) 知

7． 求

【答案】由分部积分可得

令

则

所以

故得

8． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式：

【答案】

所以f (x ) 在x= 1处的泰勒展开式为

(2)

因所以

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坐标系可通过旋转变换来实现，因此从坐标系之间的

正交变换是存在的) ，变换的行列式为1.

显然该变换将半径为R 的球仍变为半径为R 的球. 记

在

处的幂级数展开式为