当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

且

是一个严格开区间套，即满足

证明：存在惟一的一点使得

【答案】由题设知

，

又

因

2． 设

在

上连续. 证明函数

在

是单调递増函数.

先证

时有

一方面

，

(否则，

若

左连续). 于是当

即

再证

当又当由此可知

当

时，

有

故

综上所述， 3． 设

为递减正项数列. 证明：级数

同时收敛，同时发散.

的部分和分别是

第 2 页，共 28 页

是一个闭区间套. 由区间套定理知，

存在惟一的点

所

以

使得即

在上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知

扩大而不减，因而

对

在点

左连续.

对

上处处有定义，又上确界随取值区间因为

在点

连续，

所以

在

上的最大值点

为时

有

，

即从

而当

于是当时，有则

当

时有

另一方面，

设

在点右连续.

时，有时，

有

时，

有

又

是单调递增的，所以

当

在点连续. 由的任意性知

在

上连续.

【答案】设正项级数有

由此知，若又因为

收敛，则

有上界，从而

有上界，即

有上界，因此

收敛.

由此知，若于是

4． 设f 在点证明：

【答案】由于

所以

而

故

与

收敛，则

有上界，故

也收敛.

同时收敛，同时发散。 可微，且在给定了 n 个向量

相邻两个向量之间的夹角为

二、解答题

5． 求指数

使得曲线积分

则

由

得

这时

所以积分与路径无关，由于

与路线无关

并求k.

【答案】设

第 3 页，共 28 页

及

所以

6． f (x ) 是以

(1) 求函数

为周期的连续函数，其傅里叶系数为

的傅里叶系数

(2) 利用题(1) 的结果证明帕塞瓦尔(Parseval ) 等式

【答案】⑴(2) 由题(1) 得

在G (x ) 中令

得

即

7． 计算积分

【答案】因为

所以

而

一致收敛，因此

8． 计算下列向量场A 的散度和旋度：

【答案】

第 4 页，共 28 页