2017年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明下列各题
1． 设
【答案】
故
2． 证明：若
【答案】
由单调递增数列.
进一步，由由设
单调递增且有上界，知
则有
得收敛.
所以
即
的构造，
知
则数列
收敛，并求其极限.
，可推出
为严格
在x=0连续. 由
可知g 在x=0不连续。
证明：复合函数
在
连续，但g 在
不连续.
3． 设E 为平面上一个有界闭集，连续函数f 将E —对一映为平面上的点集F ，证明：(1) F 也是有界闭集；(2) f 的逆映射也是连续函数.
【答案】(1) 由E 为有界闭集，f 为连续函数，显然F 是有界的. 下证F 为闭集.
设
为F 中的任意一个无限点集，对于每个即存在
的子列
满足
则
从而为聚点，即F 中的点均是聚点，从而F 为有界闭集. (2) 由f 是一一映射，
知在
连续，
当从而
4． 证明级
数
【答案】 充分性 任给正数当然对
存在正整数N , 对一切
总有
的m 有
从而
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存在一个使的
它必有聚点
存在. 并且对
’
时，在
连续. 由
存在
的任意性，
知
使得
令上述
即当
是F 上的连续函数.
由
时
，
收敛的充要条件是:任给正
数
存在某正整数N , 对一
切总
有
由柯西准则知级数必要性 若级数特别地，取
5． 证明：函数
【答案】因为
所以 6． 设数列数列
与
满足：存在正数M , 对一切n 有都收敛.
又
存在正整数N , 当
所以
是单调有界数列，故
收敛. 由柯西
由柯西收敛准则知，
收敛.
时，有
证明：:
收敛.
收敛，由柯西准则知对任给正数n 存在自然数
则对任意
有
为常数) 满足拉普拉斯方程：
当
时，
【答案】因为收敛准则知，对任意的
于是
二、求解下列各题
7． 计算
【答案】由
推得
令
则有
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8． 利用迫敛性求极限：（1）
【答案】（1）因为于是
而
由迫敛性得
（2）因为又因为
所以当
时
（2），
所以当
时
由迫敛性得
9． 求
【答案】
而
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