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一、证明下列各题

1． 证明

:

【答案】

故

2． 设

在

上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

3． 1) 证明瑕积分

2) 利用上题结果，证明：

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由微分中值定理

则

收敛，

且

(提示：利用【答案】1) 由于则有

故

于是2)(1)

令

则

于是

故有

(2)

4． 设f (x ) 在

上可积，则

【答案】先证明

在

上一致收敛.

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并将它们相加. ) 所以瑕积分

收敛. 同理，

也收敛.

令

事实上，由且

根据有

法

，

收敛(即

在

关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是

，

关于x 单调(

当

固定)

时

，

特别地，有

由f (x ) 在又因为

上可积可知，它在所以对上述，

上有界，即

当

于是，

当

时，有

即

5．

设

是周期为

的连续函数，且其傅里叶级数

处处收敛，求证这个傅

里叶级数处处收敛到

【答案】设

由条件知由费耶定理，知故

6． 设

是无界数列，又因为

无界数列.

利用极限的性质，得一致收敛于收敛于

必为无界数列.

时，

有

即

是

有

因此

所以

时，

有有

无穷大数列. 证明：

【答案】

因为是无穷大数列，所以对任意大正数M>0, 存在自然数N ，

当是无界数列，

所以总存在

二、求解下列各题

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